内積の一般的な性質からシュワルツの不等式を証明する
数ベクトル空間$ \mathbb{R} ^{n}$でのシュワルツの不等式の証明はよく見かけますが、それと比べると例えば積分に関するシュワルツの不等式はあまり見かけない気がします。
どちらも計量ベクトル空間における内積の一般的な性質から証明できるものなので、まとめて取り扱ってみたいと思います。
なお、この記事では簡単のため実数体上のベクトル空間のみ考えることにします。
まず、$ \boldsymbol{V}$をベクトル空間とし、$ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{V}$として、$ \boldsymbol{V} \times \boldsymbol{V} \rightarrow \mathbb{R}$という写像として定義される内積を$ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})$と書くことにする。
この時、内積は以下の性質を満たす：
(1)対称性 $$ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) $$
(2)線形性 $$ (a \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) = a (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \ \ \ ( a \in \mathbb{R}) $$ $$ (\boldsymbol{x}, a \boldsymbol{y}) = a (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \ \ \ ( a \in \mathbb{R}) $$ $$ (\boldsymbol{x} + \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) + (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{z}) $$ $$ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} + \boldsymbol{z}) = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) + (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{z}) $$
(3)正定値性 $$ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) \geqq 0 $$ $$ (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) = 0 \Leftrightarrow \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0} $$
以上の性質からシュワルツの不等式を証明する。
まず$ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y} \in \boldsymbol{V}$に対して、1変数函数$ F(t)$として $$ F (t) = (\boldsymbol{x} - t \boldsymbol{y}, \boldsymbol{x} - t \boldsymbol{y}) $$ を考える。内積の性質(3)正定値性より、任意の$ t \in \mathbb{R}$に対し$ F(t) \geqq 0$である。なお、$ \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$のいずれかが零ベクトルの場合はシュワルツの不等式は明らかに成り立つため、以下では$ \boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$かつ$\boldsymbol{y} \neq \boldsymbol{0}$であるものとする。
線形性と対称性を使って計算していくと
\begin{align} F(t) =& (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x} - t \boldsymbol{y}) - t (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x} - t \boldsymbol{y}) \\\ =& (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) - 2 t (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) + t^{2} (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y})\\\ \end{align}
とかける。これを$t$についての2次関数とみると、$ F(t) \geqq 0$より判別式$D$が0以下でなければならない。すなわち、
\begin{align} D / 4 = (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})^{2} - (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}) \leq 0 \\\ \Leftrightarrow \left| (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \right| \leq \sqrt{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}) (\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y})} \end{align}
となる。よく見慣れた形にするためにノルムを$\| \boldsymbol{x} \| = \sqrt{(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x})}$と書くと、
$$ \left| (\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \right| \leq \| \boldsymbol{x} \| \| \boldsymbol{y} \| $$ となり、シュワルツの不等式が証明できた。
以上の証明は、（実数体上という制限ありますが）具体的にどんなベクトル空間を考えているとか、どんな内積を入れているとかは気にしていないところがポイントですね。
考えたい実数体上のベクトル空間があり、そこに満たすべき性質を満たした内積を入れさえすれば、その内積についてシュワルツの不等式が使えます。非常に安心感がありますね。
