定理1.1.13の証明の以下の記述について補足してみます〜

また, 任意の$ A \in \mathcal{A}$は区間の有限直和で表されるので、 $\displaystyle A \in \sigma \left( \mathcal{I} \right)$ がいえる.

まず、 $\displaystyle \sigma \left( \mathcal{I} \right)$ は$ \mathcal{I}$を含む $\displaystyle \sigma$ -加法族でした（ここでは最小性については興味ないので特に考えません）。

すると、$ \mathcal{I}$の元、つまり区間$ I_1, I_2$を考えると、 $\displaystyle I_1, I_2 \in \sigma (\mathcal{I})$ が言えます。

よって、 $\displaystyle \sigma$ -加法族の性質により、 $\displaystyle I_1 \cup I_2 \in \sigma (\mathcal{I})$ となります。

これを繰り返すと、区間（$ \mathcal{I}$の元）の和集合でかける集合は全て $\displaystyle \sigma \left( \mathcal{I} \right)$ の元となります。

ところで、そもそも考えていた集合$ A$は、$ \mathcal{A}$の定義により、区間の有限直和、すなわち和集合で書かれていたので、 $\displaystyle A \in \sigma \left( \mathcal{I} \right)$ が言えました。

引用文献

rikiya-umehara’s diary